OCTAVOS

CUARTO PERIODO 2013
LAS FRACCIONES ALGEBRAICAS
Definicion y simplificacion:



Apoyados en el vídeo anterior , tenemos nociones básicas para trabajar las fracciones algebraicas.
Desarrollemos el taller dejado en su cuenta de correo.

Operaciones con fracciones algebraicas

Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero a común denominador.
Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de  fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador.
Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:
fraccion_algebraica_007

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos.
Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda
fraccion_algebraica_008

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado.
Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. 
Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.).
Sumar fraccion_alegeraica_012

El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x  − 3)
Hacemos
fraccion_algebraica_013
¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador:
Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas
Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos qué significa esto:
Sea fraccion_algebraica_014  una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra fraccion_algebraica_015, entonces: fraccion_algebraica_016  
Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas
Multiplicar
fraccion_algebraica_017
 Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:
fraccion_algebraica_018
Simplificamos antes de efectuar el producto:
fraccion_algebraica_019
Ahora, podemos multiplicar los factores finales:
fraccion_algebraica_020
Cociente o división de fracciones algebraicas
Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede.
Veamos, ahora qué significa esto:
Sea fraccion_algebraica_014 una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra fraccion_algebraica_015, entonces: 
fraccion_algebraica_024
Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas
Dividir
fraccion_algebraica_025
Anotamos haciendo el producto cruzado:
fraccion_algebraica_026
Simplificamos y finalmente multiplicamos:
fraccion_algebraica_027
Importante: en los ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de polinomios.

Resuelva los siguientes ejercicios , en duos para la socializacion en el aula de clase.

Ejercicios propuestos

1) \cfrac {4x(x-2)^2}{8x^2(x-2)}


2) Opera: \cfrac {2}{x-3} + \cfrac {5}{x}

3) Opera: \cfrac {2x}{x-1} \cdot \cfrac {3x+5}{x^2}


4) Opera: \cfrac{2x}{x+1}:\cfrac{x^2}{x-2}








SEGUNDO SEMESTRE DEL  2013


Continuamos nuestro reto matematico , pero para trabajar en forma integrada con el proyecto de VALORES de la institucion vamos a leer  y desarrollar en hojas cuadriculadas las actividades propuestas por el folleto:

ESTO DEBE ESTAR EN SU CARPETA DE MATEMÁTICA A MAS TARDAR EL DÍA VIERNES 30  DE  AGOSTO DEL 2013



CUADRO DE HONOR DE LOS ALUMNOS DE
OCTAVO GRADO EN EL PRIMER SEMESTRE
2013

OCTAVO A    DIAZ RIOS VICTOR FERNANDO
                        AMGARITA GONZALEZ CLAUDIA  GABRIELA
                        BURGOS JAIMES JOSE MANUEL
                        GARCIA GOMEZ CARLOS ALBERTO                                                                                 
OCTAVO  B   ESTUPIÑAN GUALDRON JHON JAIRO
                        PACHECO GUERRERO CATALINA
                        ORDOÑEZ CABALLERO NICOLL DANIELA
                        FIGUEROA VELANDIA JUAN CAMILO
                        GUERRERO MARCIALES CRISTIAN IVAN
                        SANTAMARIA VERA LIZETH JOHANA
                        ALVAREZ  ROJAS MARCIA YURLEY


FELICITACIONES: ¡SIGAN ALCANZANDO LA MAYOR CANTIDAD DE TRIUNFOS TANTO EN LA PARTE PERSONAL , SOCIAL Y ACADEMICA¡

    DATOS IMPORTANTES DE GEOMETRIA

SOFTWARE MATEMATICO


GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.
GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas.
Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.

Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible . Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.
GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc.

http://www.geogebra.org/



LINEAS NOTABLES DEL TRIANGULO

Las rectas notables de un triángulo son: 

Mediatrices:

La MEDIATRIZ de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio.
Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices  que denotaremos como sigue:
La mediatriz del lado 'a'=BC, se denota por Ma
La mediatriz del lado 'b'=AC, se denota por Mb
La mediatriz del lado 'c'=AB, se denota por Mc
 Para mayor conocimiento enlazamos con

ACTIVIDADES.

Con ayuda del software GEOGEBRA  y con los siguientes tutoriales  trabajaremos este practico e interesante tema.


Geogebra y los triangulos

Elaborar sus propios ejercicios y enviarlos al correo de la docente . Suerte 


SEMEJANZA DE TRIANGULOS


Seguimos trabajando con los triangulos , observa las siguientes diapositivas


DATOS IMPORTANTES DE ESTADISTICA

En el segundo semestre nos dedicaremos a trabajar dos temas nuevos para cada uno de ustedes que son

LAS MEDIDAS DE  DESVIACION STANDAR



Observemos las siguientes diapositivas y trabajemos los ejercicios presentados en el siguiente sitio
buscar las evaluaciones en el sector MN4  el tema de dispersion






LA PROBABILIDAD

Veamos la siguiiente explicacion del tema y luego desarrolla el taller propuesto a continuacion. 
 












Taller Probabilidad
Grado :Octavo
Nombre:____________________________________________Fecha :____________________

 1. En el lanzamiento de un dado, determina la probabilidad de obtener:
a) el número 2
b) un número par
c) un 2 ó un 4.

 2. Calcula la probabilidad de que al lanzar 2 dados se obtenga:
a) uno que sea mayor que 2 o que la suma de sus números sea menor que 4.
b) que sus números sumados sean 3; 9 ó 12.

 3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos veces un dados salga:
a) las dos veces un as.
b) en la primera un as y en la segunda no salga un as.

 4. Si la probabilidad de que Juan apruebe el curso es de un 80% y la de Patricia es de un 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aprueben el curso?

 5. Calcula la probabilidad de obtener dos reyes de un naipe de 52 cartas, sin volver la primera carta a la baraja.

 6. Una bolsa contiene 100 fichas numeradas del 1 al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una ficha, ésta sea un múltiplo de 7?

 7. Se lanzan al mismo tiempo 2 dados. Calcula la probabilidad:
a) que la suma de ellos sea 9.
b) que la diferencia de ellos sea 2.
c) de que salga por lo menos un 5.

8. Si se tienen 5 monedas de 5, 10, 20, 50 y 100 pesos, respectivamente, ¿cuántas sumas de dinero distintas se pueden formar?

9. De un grupo de 10 obreros y 7 empleados, ¿cuántos comités diferentes compuesto por 4 obreros y 3 empleados se pueden formar?

10. Un estante tiene espacio para 3 libros. Si se dispone de 6 libros diferentes, ¿cuántos arreglos se pueden hacer en el estante?

11. Un vendedor de helados tiene 25 sabores diferentes. ¿Cuántos helados dobles puede ofrecer si se usan dos sabores diferentes distintamente?

12. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden listar en una boleta 6 candidatos para un puesto?

13. ¿Cuántas palabras de 3 letras, con o sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra AGENT?. ¿Cuántas palabras de 5 letras?

14. Dados 7 puntos, donde al menos 3 no pueden pertenecer a una linea recta, ¿cuántas rectas se pueden dibujar uniendo dos puntos?

15. Escribe cuántos números de 4 cifras, sin repetir ninguna, puedes formar con los 10 dígitos si:
a) la cifra de la unidad de mil es 3 y la de la centena es 5.
b) deben ser pares
Nota: El número 0978 es considerado de 3 cifras

BIENVENIDOS AL MARAVILLOSO MUNDO DE LA FACTORIZACION




Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las  multiplicaciones :

1.         2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x
2.         (x + 7)(x + 5) = x2  + 12x + 35

entonces vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir , la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

La factorización es de extrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar.

Existen varios casos de factorización :

Para mayor apoyo veamos algunos sitios muy utiles  y que le ayudaran a reforzar lo ya visto
NOTA IMPORTANTE : Desarrolla junto a tus compañeros los ejercicios propuestos en clase

PRIMER SEMESTRE DEL 2013


Vídeo del Teorema de Pitágoras













 
Pitágoras
Parece seguro que Pitágoras fue hijo de Mnesarco y que la primera parte de su vida la pasó en Samos, Es posible que viajara entonces a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto. Se habla también de viajes a Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por fin, su famosa escuela en Crotona, donde gozó de considerable popularidad y poder.
La comunidad liderada por Pitágoras acabó, plausiblemente, por convertirse en una fuerza política aristocratizante que despertó la hostilidad del partido demócrata, de lo que derivó una revuelta que obligó a Pitágoras a pasar los últimos años de su vida en Metaponto.
La comunidad pitagórica estuvo seguramente rodeada de misterio; parece que los discípulos debían esperar varios años antes de ser presentados al maestro y guardar siempre estricto secreto acerca de las enseñanzas recibidas. Las mujeres podían formar parte de la cofradía; la más famosa de sus adheridas fue Teano, esposa quizá del propio Pitágoras y madre de una hija y de dos hijos del filósofo.

Los pitagóricos atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras por lo que es difícil determinar con exactitud cuales resultados son obra del maestro y cuales de los discípulos. Entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras están:
El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos (los dos lados menores del triángulo rectángulo: los que conforman el ángulo recto). Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es, se establece que:
·         Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
·         Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva.
·         Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares.
·         Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
·         Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
·         Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales.
·         Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc. (ver figura).
·         También se atribuye a Pitágoras haber transformado las matemáticas en una enseñanza liberal mediante la formulación abstracta de sus resultados, con independencia del contexto material en que ya eran conocidos algunos de ellos.

LOS POLINOMIOS



CONCEPTOS BÁSICOS:

Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m
En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal.

Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos.

Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina:
Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z
Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b
Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19
Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.


VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico
a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión
para determinar su valor final.

NO OLVIDAR:
1.Reemplazar cada variable por el valor asignado.
2.Calcular las potencias indicadas
3.Efectuar las multiplicaciones y divisiones
4.Realizar las adiciones y sustracciones

Términos semejantes:

Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal.
Ejemplos:

 En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

 En la expresión x2y3 – 8xy2 + x2y3 , x2y3 es semejante con x2y3


Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

Uso de paréntesis:

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones.
Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:

 Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.

 Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.


3x – (6x + 1) + (x –3 ) = 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4


Observación:

 Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior.






PRODUCTOS NOTABLES


 Tanto en la multiplicacion algebraica como en la aritmetica se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicacion simplifica la obtencion del resultado. Estos productos reciben el nombre de Productos Notables.








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